Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝－x＋3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，動點P從點B出發(fā)沿BA向終點A運動，同時動點Q從點O出發(fā)沿OB向點B運動，到達點B后立刻以原來的速度沿BO返回．點P，Q運動速度均為每秒1個單位長度，當(dāng)點P到達點A時停止運動，點Q也同時停止．連結(jié)PQ，設(shè)運動時間為t(t>0)秒．

(1)求點P的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；

(2)當(dāng)點Q從點O向點B運動時(未到達點B)，是否存在實數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由；

(3)伴隨著P，Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為直線l．是否存在t的值，使得直線l經(jīng)過點O?若存在，請求出所有t的值；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）P（，﹣x+3）；

（2）不存在實數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17；

（3），t=或時，O在l的垂直平分線上．

【解析】

試題分析：（1）表示邊長首要就是表示出來，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)及線段成比例等性質(zhì)易表示出，PD，PC的長，即得坐標(biāo)；

（2）討論面積一般是計算底和高，然后表示出面積解析式，進而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)討論最值或范圍．而第一問求得OA=3，OB=4，易得S△AOB僅為6，而S△BQP≤S△AOB，所以定不存在實數(shù)t，使得面積大于17；

（3）垂直平分線上的點到兩邊距離相等，利用這個性質(zhì)，我們只要表示出OP，和OQ即可．但討論時注意Q點的運動時個往返的過程，要有兩種情形．

試題解析：（1）如圖，過點P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．

∵y=﹣x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B

∴A（4，0），B（0，3），

在Rt△BDP中，

∵OB=3，OA=4，

∴AB=5．

∵BP∥OA，

∴，

∵BP=t，

∴，

∴．

∵由點P過AB，

∴將x=代入y=﹣x+3，得y=﹣x+3，

∴P（，﹣x+3）；

（2）不存在實數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17．

∵Q、P在OB、OA上運動，

∴S△BQP≤S△AOB．

∵S△AOB=OA·OB==6，

∴S△BQP≤6＜17，

∴不存在實數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17；

（3）∵P（，﹣x+3），

∴OC=，PC=﹣x+3，

∴OP2=（）2+（﹣x+3）2，

∵O在l的垂直平分線上，

∴OP=OQ．

①當(dāng)0＜t≤3時，OP=t，則t2=（）2+（﹣t+3）2，解得 t=，符合要求．

②當(dāng)3＜t≤5時，

∵BQ=t﹣3，

∴OQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，

∴（6﹣t）2=（）2+（﹣t+3）2

解得 t=，符合要求．

綜上所述，t=或時，O在l的垂直平分線上．

考點：一次函數(shù)綜合題．