Question

如圖，AB是⊙O的直徑，經(jīng)過(guò)圓上點(diǎn)D的直線(xiàn)CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求證：直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AB的垂線(xiàn)交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，且AB=5，BD=2，求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，由OD=OB得∠ODB=∠B，而∠ADC=∠B，則∠ODB=∠ADC；再根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，則∠ADO+∠ADC=90°，即∠ODC=90°，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出DA=

21

，再根據(jù)三角形相似的判定方法證明△EAB∽△ADB，然后利用相似比即可計(jì)算出AE的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∵∠ADC=∠B，
∴∠ODB=∠ADC；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠ADO+∠ADC=90°，
即∠ODC=90°，
∴OD⊥CD，
∴直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：在Rt△ABD中，AB=5，BD=2，
∴DA=

AB2-BD2

=

21

，
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△EAB∽△ADB，
∴

AE

DB

=

AB

DB

，即

AE

21

=

5

2

∴AE=

5 21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．也考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．