Question

在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE交BF于M，CF交DE于N．
（1）求證：MENF為平行四邊形；
（2）若∠ANE=∠ABC，AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AN的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合條件可證明四邊形AECF和四邊形BEDF為平行四邊形，可分別得到AE∥CF，BF∥DE，可證明四邊形MENF為平行四邊形；
（2）由條件可證明△ADN∽△DEC，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AN．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠CFA=90°，
∴∠AEC+∠EAF=∠EAF+∠AFC=180°，
∴AE∥CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∴AF=CE，
∴BE=DF，且BE∥DF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴BF∥DE，
∴四邊形MENF為平行四邊形；
（2）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠ABC+∠ECD=180°，
而∠ANE=∠ABC，
∴∠AND=∠DCE，
又∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DEC，
∴△ADN∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AN

CD

，
∴AN=

AD•CD

DE

=

3 3 ×4

6

=2

3

．

點評：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩組對邊分別平行的四邊形?平行四邊形，②兩組對邊分別相等的四邊形?平行四邊形，③一組對邊分別平行且相等的四邊形?平行四邊形，④兩組對角分別相等的四邊形?平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形?平行四邊形．