Question

如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC=40cm，高AD=30cm，要把它加工成矩形零件，矩形EFGH的一邊FG在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，AD與EH的交點(diǎn)為點(diǎn)M，設(shè)FG=x cm，當(dāng)x為何值時(shí)，這個(gè)矩形零件的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列式求出AM，進(jìn)而得到EF=AD-AM，再根據(jù)矩形的面積列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答即可．

解答：解：設(shè)FG=xcm．
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴

AM

AD

=

EH

BC

，
∴

AM

30

=

x

40

，
解得AM=

3

4

x，
∴EF=MD=AD-AM=30-

3

4

x，
∴S_矩形EFGH=FG•EF=x（30-

3

4

x），
即S=-

3

4

x²+30x=-

3

4

（x²-40x+400）+300=-

3

4

（x-20）²+300，
所以，當(dāng)x=20，即FG=20cm時(shí)，這個(gè)矩形零件的面積最大，最大面積是300cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比用矩形EFGH的長(zhǎng)表示出寬是解題的關(guān)鍵．