Question

7．若關(guān)于x的無理方程$\sqrt{{x}^{2}-p}$+2$\sqrt{{x}^{2}-1}$=x有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)原無理方程，可以對(duì)其化簡(jiǎn)，從而可以得到關(guān)于平的不等式，從而可以得到實(shí)數(shù)P的取值范圍．

解答 解：$\sqrt{{x}^{2}-p}$+2$\sqrt{{x}^{2}-1}$=x，
∴$\sqrt{{x}^{2}-p}=x-2\sqrt{{x}^{2}-1}$，
∴${x}^{2}-p={x}^{2}-4x\sqrt{{x}^{2}-1}+4（{x}^{2}-1）$，
∴${x}^{2}-p={x}^{2}-4x\sqrt{{x}^{2}-1}+4{x}^{2}-4$，
∴$4x\sqrt{{x}^{2}-1}=4{x}^{2}+p-4$，
∴16x²（x²-1）=16x⁴+8px²-32x²+（p-4）²，
∴16x⁴-16x²=16x⁴+8px²-32x²+（p-4）²，
∴16x²-8px²=（p-4）²，
∴${x}^{2}=\frac{（p-4）^{2}}{16-8p}$，
∵關(guān)于x的無理方程$\sqrt{{x}^{2}-p}$+2$\sqrt{{x}^{2}-1}$=x有實(shí)數(shù)解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（p-4）^{2}}{16-8p}≥p}\\{\frac{（p-4）^{2}}{16-8p}≥1}\\{16-8p＞0}\end{array}\right.$，
解得，p＜2，
即實(shí)數(shù)p的取值范圍是p＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查無理方程，解題的關(guān)鍵是明確無理方程的解答方法．