Question

已知二次函數(shù)L₁：y₁=x²+6x+5k和L₂：y₂=kx²+6kx+5k，其中k≠0，1．
（1）寫出有關(guān)二次函數(shù)L₁和L₂兩條共有的性質(zhì)結(jié)論．
（2）若兩條拋物線L₁和L₂相交于點E，F(xiàn)，當k的值發(fā)生變化時，請判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化，并說明理由．
（3）在（2）中，若二次函數(shù)L₁ 的頂點為M，二次函數(shù)L₂的頂點為N．
     ①當k為何值時是，點M與N關(guān)于直線EF對稱？
     ②是否存在實數(shù)k，使得MN=2EF？如果存在，求出實數(shù)k；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）只需從二次函數(shù)的對稱軸、與y軸的交點等角度考慮就可解決問題；
（2）可令y₁=y₂，求出點E、F的橫坐標，從而得到點E、F的坐標，進行得到EF的長，就可解決問題；
（3）易得點M、N的坐標及直線EF的關(guān)系式，然后根據(jù)條件建立關(guān)于k的方程，就可解決問題．

解答：解：（1）二次函數(shù)L₁和L₂兩條共有的性質(zhì)是：
①它們的對稱軸相同，都是x=-3，
②它們的圖象與y軸的交點都是（0，5k）；

（2）線段EF的長度不發(fā)生變化．
理由：當y₁=y₂時，x²+6x+5k=kx²+6kx+5k，
整理得：（k-1）（x²+6x）=0．
∵k≠1，∴x²+6x=0，
解得：x₁=0，x₂=-6．
不妨設(shè)點E在點F的左邊，
則點E的坐標為（-6，5k），點F的坐標為（0，5k），
∴EF=|0-（-6）|=6，
∴線段EF的長度不發(fā)生變化．

（3）①由y₁=x²+6x+5k=（x+3）²+5k-9得M（-3，5k-9），
由y₂=kx²+6kx+5k=k（x+3）²-4k得N（-3，-4k）．
∵直線EF的關(guān)系式為y=5k，且點M與N關(guān)于直線EF對稱，
∴-4k-5k=5k-（5k-9），
解得：k=-1，
∴當k為-1時，點M與N關(guān)于直線EF對稱．
②∵MN=|（5k-9）-（-4k）|=|9k-9|，MN=2EF=12，
∴|9k-9|=12，
解得k₁=

7

3

，k₂=-

1

3

，
∴實數(shù)k為

7

3

或-

1

3

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元二次方程、軸對稱的性質(zhì)、解絕對值方程等知識，需要注意的是當兩點橫坐標相同時，兩點之間的距離應(yīng)為這兩點縱坐標差的絕對值．