Question

如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對(duì)角線．
（1）在剩余的頂點(diǎn)B、C、D、E、F、H中，連接兩個(gè)頂點(diǎn)，使連接的線段與AG平行，并說(shuō)明理由；
（2）兩邊延長(zhǎng)AB、CD、EF、GH，使延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓,全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定

專題：

分析：（1）利用已知得出正八邊形，它的內(nèi)角都為135°，再利用正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對(duì)稱，得出∠2+∠3=180°，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)題意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，則PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形，進(jìn)而求出PQ的長(zhǎng)即可得出答案．

解答：解：（1）連接BF，則有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八邊形，
∴它的內(nèi)角都為135°．
又∵HA=HG，
∴∠1=22.5°，
從而∠2=135°-∠1=112.5°．
由于正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對(duì)稱，
∴∠3=

1

2

×135°=67.5°
即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．

（2）根據(jù)題設(shè)可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四邊形PQMN是矩形．
又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，
故四邊形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中，∵∠PAH=45°，AB=2，
∴PA=AB•sin45°=2×

2

2

=

2

，
∴PQ=PA+AB+BQ=

2

+2+

2

=2

2

+2．
故S四邊形PQMN=(2

2

+2)2=12+8

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正多邊形和圓以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出PQ的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．