Question

9．已知⊙O的面積為3π，則其內(nèi)接正三角形的面積為（　�。�

• A． 9$\sqrt{3}$
• B． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{9\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形，作AD⊥BC于D，則BD=CD，根據(jù)垂徑定理的推論可得圓心O在AD上，連接OB，如圖，利用圓的面積公式計(jì)算出圓的半徑為$\sqrt{3}$，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可判斷點(diǎn)O為等邊△ABC的外心和內(nèi)心，則∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°，接著根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=$\sqrt{3}$OD=$\frac{3}{2}$，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答 解：如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形，
作AD⊥BC于D，則BD=CD，
∴圓心O在AD上，
連接OB，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵⊙O的面積為3π，
∴πr²=3π，解得r=$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)O為等邊△ABC的外心，
∴點(diǎn)O為等邊△ABC的內(nèi)心，
∴∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABD=30°，
在Rt△OBD中，OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
BD=$\sqrt{3}$OD=$\frac{3}{2}$，
∴BC=2BD=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•BC=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）×3=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外接圓與外心：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．解決本題的關(guān)鍵是等邊三角形性質(zhì)的靈活應(yīng)用．