Question

18．如圖，AB是半⊙O的直徑，點(diǎn)C在半⊙O上，∠B=∠DCA，AD∥BC，連結(jié)OD、AC．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OD=3$\sqrt{6}$，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，AB是⊙O的直徑，易證得∠1+∠B=90°，又由OA=OC，則可證得∠1=∠2，由∠B=∠DCA，從而求得∠2+∠DCA=90°，即CD是⊙O的切線；
（2）由已知條件和圓周角定理易證△CAB∽△DAC，由AC：BC的值可設(shè)AC=$\sqrt{5}$k，則BC=2k，由勾股定理可得AB=3k，繼而表示出DC的長(zhǎng)，然后由勾股定理建立關(guān)于k的方程，解方程即可得到問(wèn)題答案．

解答 （1）證明：連結(jié)OC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠B=90°，
又∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠B=90°，
∵∠DCA=∠B，
∴∠DCA+∠2=90°，
即OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切線；
（2）∵AD∥BC，AB是⊙O的直徑，
∴∠DAC=∠ACB=90°，
∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2，
∴∠B=∠3，
∴△CAB∽△DAC，
∴$\frac{AC}{DA}=\frac{BC}{AC}=\frac{AB}{DC}$，
∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴設(shè)AC=$\sqrt{5}$k，BC=2k，則AB=3k，
∴$\frac{3k}{DC}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}$，
∴DC=$\frac{3\sqrt{5}k}{2}$，
在△ODC中，OD=3$\sqrt{6}$，OC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$k，
∴（3$\sqrt{6}$）²=（$\frac{3}{2}$k）²+（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$k）²，
∴解得：k=2，
∴AB=3k=6．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．