Question

3．已知關(guān)于x的一元二次方程mx²-（2m+n）x+m+n=0
（1）求證：方程有實數(shù)根1；
（2）若m+n=2，m為正整數(shù)，且方程有兩個不相等的整數(shù)根，求m、n．

Answer 1

分析 （1）由方程為一元二次方程可得出m≠0，利用分解因式法解方程可得出x₁=1、x₂=$\frac{m+n}{m}$，此題得證；
（2）由m+n=2以及m為正整數(shù)可得出m=1或2，當(dāng)m=1時可得出n=1、x₂=2≠1符合題意；當(dāng)m=2時可得出n=0、x₂=1不符合題意．綜上即可得出m、n的值．

解答 （1）證明：∵方程為一元二次方程，
∴m≠0．
mx²-（2m+n）x+m+n=（mx-m-n）（x-1）=0，
解得：x₁=1，x₂=$\frac{m+n}{m}$．
∴方程有實數(shù)根1；
（2）解：∵m+n=2，m為正整數(shù)，
∴m=1或2．
當(dāng)m=1時，n=1，
x₂=$\frac{m+n}{m}$=2≠1，
∴方程有兩個不相等的整數(shù)根，符合題意；
當(dāng)m=2時，n=1，
x₂=$\frac{m+n}{m}$=1，
∴方程有兩個相等的整數(shù)根，不合題意．
故m=n=1．

點評 本題考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解方程找出x₁=1、x₂=$\frac{m+n}{m}$是解題的關(guān)鍵．