Question

4．如圖，已知等邊△ABO在平面直角坐標系中，點A（4$\sqrt{3}$，0），函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k為常數(shù)）的圖象經(jīng)過AB的中點D，交OB于E．
（1）求k的值；
（2）若第一象限的雙曲線y=$\frac{m}{x}$與△BDE沒有交點，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過點B作BM⊥OA于點M，由等邊三角形的性質結合點A的坐標找出點B的坐標，再利用中點坐標公式即可求出點D的坐標，最后利用待定系數(shù)法即可得出結論；
（2）設過點B的反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{n}{x}$，由點B的坐標利用待定系數(shù)法求出n的值，根據(jù)反比例函數(shù)的性質即可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）過點B作BM⊥OA于點M，如圖所示．

∵點A（4$\sqrt{3}$，0），
∴OA=4$\sqrt{3}$，
又∵△ABO為等邊三角形，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=2$\sqrt{3}$，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=6．
∴點B的坐標為（2$\sqrt{3}$，6）．
∵點D為線段AB的中點，
∴點D的坐標為（$\frac{2\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{2}$，$\frac{6}{2}$）=（3$\sqrt{3}$，3）．
∵點D為函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k為常數(shù)）的圖象上一點，
∴有3=$\frac{k}{3\sqrt{3}}$，解得：k=9$\sqrt{3}$．
（2）設過點B的反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{n}{x}$，
∵點B的坐標為（2$\sqrt{3}$，6），
∴有6=$\frac{n}{2\sqrt{3}}$，解得：n=12$\sqrt{3}$．
若要第一象限的雙曲線y=$\frac{m}{x}$與△BDE沒有交點，只需0＜m＜k或m＞n即可，
∴0＜m＜9$\sqrt{3}$或m＞12$\sqrt{3}$．
答：若第一象限的雙曲線y=$\frac{m}{x}$與△BDE沒有交點，m的取值范圍為0＜m＜9$\sqrt{3}$或m＞12$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的性質、中點坐標公式、等邊三角形的性質以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解題的關鍵是：（1）求出點D的坐標；（2）求出過點B的反比例函數(shù)的系數(shù)．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，利用等邊三角形的性質結合中點坐標公式求出反比例函數(shù)圖象上一點的坐標，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的系數(shù)即可．