Question

7．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對角線AB=8，BC=4，
（1）把矩形沿直線DE對折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，DE與AC相交于點(diǎn)F，求直線DE的解析式；
（2）若點(diǎn)M在AB邊上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由軸對稱的性質(zhì)可知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，2），然后求得直線AC的解析式為y=$-\frac{1}{2}x+4$，設(shè)直線DE的解析式為y=2x+b，根據(jù)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，2）可求得直線DE的解析式；
（2）由直線DE的解析式可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可知DC=5，由菱形的性質(zhì)可知DM=5，從而可確定出點(diǎn)M的位置，然后再根據(jù)點(diǎn)M的位置可求得點(diǎn)N的位置．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴AO=BC=4，OC=AB=8，
∴A（0，4），C（8，0），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=b}\\{0=8k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∵矩形沿直線DE對折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，
∴DE⊥AC，AF=CF，
∴F（4，2），
設(shè)直線DE的解析式為：y=2x+n，
∴2=2×4+n，
∴n=-6，
∴直線DE的解析式為：y=2x-6；
（2）存在．
將y=0代入y=2x-6得：2x-6=0，解得：x=3
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．
∴DC=OC-OD=8-3=5．
如圖所示：

∵C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∴MD=MN=5．
過點(diǎn)D作DG⊥AB，則GD=OA=4，OD=M₁G．
①當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)M₁處時(shí)，在Rt△M₁DG中，M₁G=$\sqrt{{M}_{1}{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（0，4），
∵M(jìn)₁N₁=5，
∴點(diǎn)N₁的坐標(biāo)為（5，4）；
②當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)M₂處時(shí)，在Rt△M₂DG中，M₂G=$\sqrt{{M}_{2}{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為（6，4），
∵M(jìn)₂N₂=5，
∴點(diǎn)N₂的坐標(biāo)為（11，4）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，4）或（11，4）時(shí)，能夠使的四邊形C、D、M、N為菱形．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)和四邊形的綜合應(yīng)用，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，得到DM的長度，從而確定出點(diǎn)M的位置是解題的關(guān)鍵．