Question

2．如圖，直角坐標(biāo)系中Rt△ABO，其頂點(diǎn)為A（0，1）、B（2，0）、O（0，0），將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到Rt△A′B′O．
（1）一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B，求該拋物線的解析式；
（2）M為x軸上一點(diǎn)，MN∥A′B′交拋物線于點(diǎn)N，以A′、B′、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）P為線段AB上一點(diǎn)，PQ∥y軸，交拋物線于點(diǎn)Q，四邊形B′OPQ為等腰梯形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知點(diǎn)A′（-1，0），B′（0，2），然后根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；
（2）由四邊形A′、B′、M、N為平行四邊形可知：B′N∥x軸，B′N=A′M，從而可知點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2，然后將y=2代入拋物線的解析式可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后根據(jù)B′NA′M=1，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）；
（3）利用待定系數(shù)法線求得直線AB的坐標(biāo)，然后設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，$-\frac{1}{2}m+1$），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-m²+m+2），然后根據(jù)梯形為等腰梯形可知點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y=1對稱，然后列出關(guān)于m的方程求得m的值，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：點(diǎn)A′（-1，0），B′（0，2），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-2），
將x=0，y=2代入函數(shù)的解析式得：2=a×1×（-2），
解得：a=-1，
∴拋物線得解析式為y=-x²+x+2；
（2）如圖1所示：

∵四邊形A′、B′、M、N為平行四邊形，
∴B′N∥x軸，B′N=A′M
∴點(diǎn)B′與點(diǎn)N的縱坐標(biāo)相等．
將y=2代入拋物線的解析式得：-x²+x+2=2，
解得：x=0，x=1，
∴B′N=1．
∴A′M=1．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）；
（3）如圖2所示：

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A（0，1），B（2，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+1，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，$-\frac{1}{2}m+1$），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，-m²+m+2）
∵四邊形為等腰梯形，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于y=1對稱．
∴-$\frac{1}{2}m+1-{m}^{2}+m+2$=2．
解得：${m}_{1}=\frac{-\sqrt{17}+1}{4}$（舍去），${m}_{2}=\frac{\sqrt{17}+1}{4}$，
將${m}_{2}=\frac{\sqrt{17}+1}{4}$代入$-\frac{1}{2}m+1$得：$-\frac{1}{2}m+1$=$\frac{7-\sqrt{17}}{8}$．
∴點(diǎn)P得坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{17}+1}{4}$，$\frac{7-\sqrt{17}}{8}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及等腰梯形的特點(diǎn)找出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．