Question

1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CB=4，點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，則△DEF的周長(zhǎng)的最小值是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 作D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)G，作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AC于FAB于E，則GH=△DEF的周長(zhǎng)的最小值，由點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，得到BD=CD=2，根據(jù)已知條件得到DH=2DQ=4，∠HDB=60°，過H作HP⊥BC于P，解直角三角形得到PD=$\frac{1}{2}$DH=1，PH=$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：作D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)G，作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AC于FAB于E，
則GH=△DEF的周長(zhǎng)的最小值，
∵點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，
∴BD=CD=2，
∵∠B=30°，
∴DH=2DQ=4，∠HDB=60°
過H作HP⊥BC于P，
∴PD=$\frac{1}{2}$DH=1，PH=$\sqrt{3}$，
∵DG=2CD=4，
∴PG=5，
∴HG=$\sqrt{P{H}^{2}+P{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
∴△DEF的周長(zhǎng)的最小值是2$\sqrt{7}$．
故答案為：2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是最短線路問題及直角三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．