Question

4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=x²-3x的圖象與x軸相交于O、A兩點．
（1）求A點和頂點C的坐標；
（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使△AOB的面積等于6，求點B的坐標；
（3）對于（2）中的點B，在直線OB下方的拋物線上是否存在點P，使得△POB的面積最大？若存在，求出△POB的最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法以及一元二次方程的解法得出A，C點坐標；
（2）先確定A（3，0）和拋物線的對稱軸，設B（x，x²-3x），再根據(jù)三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•3•|x²-3x|=6，則x²-3x=4或x²-3x=-4，然后分別解方程求出x即可確定滿足條件的B點坐標；
（3）利用△POB的面積最大則此時P到OB的距離最大，即PO⊥OB時，進而得出P點坐標求出答案．

解答 解：（1）當y=0，則0=x²-3x，
故x（x-3）=0，
解得：x₁=0，x₂=3，
故A（3，0），
y=x²-3x=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
故C（$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{4}$）；

（2）設B（x，x²-3x），
因為△AOB的面積等于6，
所以$\frac{1}{2}$•3•|x²-3x|=6，
當x²-3x=4時，解得x₁=-1，x₂=4，則B點坐標為（4，4）；
當x²-3x=-4時，方程無實數(shù)解．
所以點B的坐標為（4，4）；

（3）∵在直線OB下方的拋物線上是否存在點P，使得△POB的面積最大，
∴此時P到OB的距離最大，即PO⊥OB時，
∵B（4，4），∴直線OB的解析式為：y=x，
∴OP的解析為：y=-x，則設P點坐標為：（x，-x），
∵P點在拋物線上，
∴y=x²-3x=-x，
解得：x₁=0（不合題意舍去），x₂=2，故P（2，-2），
∴OP=2$\sqrt{2}$，
∴△POB的面積最大為：$\frac{1}{2}$×OB×2$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=8．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及三角形面積求法、配方法求拋物線頂點坐標等知識，正確得出P點位置是解題關鍵．