Question

5．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，CO的延長線交AB于點(diǎn)D

（1）求證：AO平分∠BAC；
（2）若BC=6，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，求AC和CD的長．

Answer 1

分析 （1）延長AO交BC于H，連接BO，證明A、O在線段BC的垂直平分線上，得出AO⊥BC，再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）延長CD交⊙O于E，連接BE，則CE是⊙O的直徑，由圓周角定理得出∠EBC=90°，∠E=∠BAC，得出sinE=sin∠BAC，求出CE=$\frac{5}{3}$BC=10，由勾股定理求出BE=8，證出BE∥OA，得出$\frac{OA}{BE}=\frac{OD}{DE}$，求出OD=$\frac{25}{13}$，得出CD═$\frac{90}{13}$，而BE∥OA，由三角形中位線定理得出OH=$\frac{1}{2}$BE=4，CH=$\frac{1}{2}$BC=3，在Rt△ACH中，由勾股定理求出AC的長即可．

解答 （1）證明：延長AO交BC于H，連接BO，如圖1所示：
∵AB=AC，OB=OC，
∴A、O在線段BC的垂直平分線上，
∴AO⊥BC，
又∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC；
（2）解：延長CD交⊙O于E，連接BE，如圖2所示：
則CE是⊙O的直徑，
∴∠EBC=90°，BC⊥BE，
∵∠E=∠BAC，
∴sinE=sin∠BAC，
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{3}{5}$，
∴CE=$\frac{5}{3}$BC=10，
∴BE=$\sqrt{C{E}^{2}-B{C}^{2}}$=8，OA=OE=$\frac{1}{2}$CE=5，
∵AH⊥BC，
∴BE∥OA，
∴$\frac{OA}{BE}=\frac{OD}{DE}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{OD}{5-OD}$，
解得：OD=$\frac{25}{13}$，
∴CD=5+$\frac{25}{13}$=$\frac{90}{13}$，
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC=OE，
∴OH是△CEB的中位線，
∴OH=$\frac{1}{2}$BE=4，CH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AH=5+4=9，
在Rt△ACH中，AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．