Question

10．已知，如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)為對角線AC上兩點，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．
求證：四邊形ABCD為菱形．

Answer 1

分析 首先證得△ABE≌△CDF，得到AB=CD，從而得到四邊形ABCD是平行四邊形，然后證得AD=CD，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行證明即可．

解答 證明：∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵DF∥BE，
∴∠DFA=∠BEC，
∴∠AEB=∠CFD，
在△AEB和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠EAB}\\{AE=CF}\\{∠AEB=∠CFD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CFD（ASA），
∴AB=CD，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠DAF=∠DCF，
∴AD=CD，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評 本題考查了菱形的判定，能夠了解菱形的幾種判定方法是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．