Question

1．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺規(guī)作圖：作⊙C，使它與AB相切于點D，與AC相交于點E，保留作圖痕跡，不寫作法，請標明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的圖中，若BC=3，∠A=30°，求$\widehat{DE}$的長．

Answer 1

分析 （1）過點C作AB的垂線，垂足為點D，然后以C點為圓心，CD為半徑作圓即可；
（2）先根據(jù)切線的性質(zhì)得∠ADC=90°，則利用互余可計算出∠DCE=90°-∠A=60°，∠BCD=90°-∠ACD=30°，再在Rt△BCD中利用∠BCD的余弦可計算出CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，然后根據(jù)弧長公式求解．

解答 解：（1）如圖，

⊙C為所求；
（2）∵⊙C切AB于D，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠BCD=90°-∠ACD=30°，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=$\frac{CD}{BC}$，
∴CD=3cos30°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$\widehat{DE}$的長=$\frac{60•π•\frac{3\sqrt{3}}{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．

點評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法；解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的性質(zhì)和弧長公式．