Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且∠AFE=∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，AD=3

3

，AF=2

3

，求AE的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行線的內(nèi)錯角），而∠AFD和∠C是等角的補角，由此可判定兩個三角形相似；
（2）由（1）知△ADF∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應邊的比值相等即可求出DE的長，再利用勾股定理即可求出AE的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=4，
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，
∴DE=

AD•CD

AF

=

3 3 ×4

2 3

=6．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=

DE2-AD2

=

62-(3 3 )2

=3．

點評：此題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是熟記判定三角形相似的各種方法和各種性質(zhì)．