Question

19．在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，且AD=AC，DE⊥BC，與AB相交干點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F，過C點(diǎn)作CG∥AD，交BA的延長(zhǎng)線于G，過A作BC的平行線交CG于H點(diǎn)．
（1）若∠BAC=90°，求證：四邊形ADCH是菱形；
（2）求證：△ABC∽△FCD；
（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面積．

Answer 1

分析 （1）首先判定四邊形ADCH是平行四邊形，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一邊判定AD=CD，則易推知結(jié)論；
（2）由AD=AC，可推出∠ADC=∠ACD；因?yàn)镋D垂直平分BC，所以BE=CE，進(jìn)而可得∠ECB=∠B，所以△ABC∽△FCD；
（3）首先過A作AG⊥CD，垂足為G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的長(zhǎng)，繼而求得△ABC的面積，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得△FCD的面積．

解答 （1）證明：∵CG∥AD，AH∥CD，
∴四邊形ADCH是平行四邊形．
∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD=CD，
∴四邊形ADCH是菱形；
（2）解：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠FCD，
∴△ABC∽△FCD；
（3）解：過A作AM⊥CD，垂足為M．
∵AD=AC，
∴DM=CM，
∴BD：BM=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AM，
∴△BDE∽△BMA，
∴ED：AM=BD：BM=2：3，
∵DE=3，
∴AM=4.9，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴$\frac{{S}_{△FCD}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{CD}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AM=$\frac{1}{2}$×8×4.5=18，
∴S_△FCD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是正確作出圖形的輔助線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題．