Question

8．如圖，已知四邊形ABCD中，∠D=∠B=90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB．
（1）求證：AE∥CF；
（證明過程己給出，請(qǐng)?jiān)谙旅娴睦ㄌ?hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)睦碛桑?br />證明：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°（四邊形內(nèi)角和等于360°），
∴∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°（等式的性質(zhì)）．
∵AB平分∠DAB，CF平分∠DCB （已知），
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠2=$\frac{1}{2}$∠DCB（角平分線定義），
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠DCB）=90°（等式的性質(zhì)）．
∵∠3+∠2+∠B=180°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠3+∠2=180°-∠B=90°，
∴∠1=∠3（同角的余角相等），
∴AE∥CF（同位角相等兩直線平行）．
（2）若∠DAB=72°，求∠AEC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°得到∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°，由于∠1=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠2=$\frac{1}{2}$∠DCB，于是得到∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠DCB）=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠3+∠2=180°-∠B=90°，得到∠1=∠3，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)∠DAB=72°，求得∠DCB=108°，于是得到∠2=∠DCF=54°，根據(jù)AE∥CF，即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B=360°（ 四邊形內(nèi)角和等于360°），
∴∠DAB+∠DCB=360°-（∠D+∠B）=180°（等式的性質(zhì)）．
∵AB平分∠DAB，CF平分∠DCB （已知），
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠2=$\frac{1}{2}$∠DCB（角平分線定義），
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠DCB）=90°（等式的性質(zhì)）．
∵∠3+∠2+∠B=180°（三角形內(nèi)角和定理），
∴∠3+∠2=180°-∠B=90°，
∴∠1=∠3（同角的余角相等），
∴AE∥CF（同位角相等兩直線平行）．

（2）解：∵∠DAB=72°，
∴∠DCB=108°，
∴∠2=∠DCF=54°，
∵AE∥CF，
∴∠AEC+∠DCF=180°，
∴∠AEC=126°．
故答案為：四邊形內(nèi)角和等于360°，角平分線定義，同角的余角相等，同位角相等兩直線平行．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形內(nèi)角和等于360°，三角形的內(nèi)角和等于180°，平行線的判定，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．