Question

6．如圖所示，已知E為?ABCD中D邊延長線上一點(diǎn)，且CE=DC，連AE分別交BC、BD于F、G，連AC交BD于O點(diǎn)，連OF．
（1）求證：AF=EF；
（2）求證：DE=4OF．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得CB∥AD，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可證得CE：DC=EF：AF，然后由CE=DC，證得結(jié)論；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，AF=EF，易證得OF是△ACE的中位線，繼而證得△BOF∽△BDC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得CD=2OF，繼而證得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CF∥AD，
∴CE：DC=EF：AF，
∵CE=DC，
∴AF=EF；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AF=EF，
∴OF=$\frac{1}{2}$CE，OF∥CD，
∴△BOF∽△BDC，
∴OF：CD=OB：DB=1：2，
∴OF=$\frac{1}{2}$CD，
∴DE=CE+CD=4OF．

點(diǎn)評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意證得OF是△ACE與△BCD的中位線是關(guān)鍵．