Question

9．如圖，直線y=-$\frac{4}{3}$x+8與x軸交于A點，與y軸交于B點，動點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AO方向向點O勻速運(yùn)動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BA方向向點A勻速運(yùn)動，當(dāng)一個點停止運(yùn)動，另一個點也隨之停止運(yùn)動，連接PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t≤3）．
（1）寫出A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t為何值時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，并直接寫出此時點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征計算即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)正弦的定義用t表示出點Q到AP的距離，根據(jù)三角形的面積公式計算即可；
（3）分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理列出比例式，計算即可．

解答 解：（1）令y=0，則-$\frac{4}{3}$x+8=0，
解得x=6，
x=0時，y=y=8，
∴OA=6，OB=8，
∴點A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∵點P的速度是每秒2個單位，點Q的速度是每秒1個單位，
∴AP=2t，
AQ=AB-BQ=10-t，
∴點Q到AP的距離為AQ•sin∠OAB=（10-t）×$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$（10-t），
∴△AQP的面積S=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{4}{5}$（10-t）═-$\frac{4}{5}$t²+8t；
（3）若∠APQ=90°，則cos∠OAB=$\frac{AP}{AQ}$，即$\frac{2t}{10-t}$=$\frac{6}{10}$，
解得t=$\frac{30}{13}$，
若∠AQP=90°，則cos∠OAB=$\frac{AQ}{AP}$，即$\frac{10-t}{2t}$=$\frac{6}{10}$，
解得t=$\frac{50}{11}$，
∵0＜t≤3，
∴t的值為$\frac{30}{13}$，
此時，OP=6-2×$\frac{30}{13}$=$\frac{18}{13}$，
PQ=AP•tan∠OAB=（2×$\frac{30}{13}$）×$\frac{8}{6}$=$\frac{80}{13}$，
∴點Q的坐標(biāo)為（$\frac{18}{13}$，$\frac{80}{13}$），
綜上所述，t=$\frac{30}{13}$秒時，以點A，P，Q為頂點的三角形與△ABO相似，此時點Q的坐標(biāo)為（$\frac{18}{13}$，$\frac{80}{13}$）．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用．