Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的頂點A，B分別落在坐標軸上，O為原點，點A的坐標為（-12，0），點B坐標為（0，16），動點M從點O出發(fā)．沿OA向中點A以每秒2個單位的速度運動，同時動點N從A出發(fā)，沿AB向中點B以每秒$\frac{10}{3}$個單位的速度運動，當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設動點M、N運動的時間為t秒（t＞0）．
（1）當t=3秒時，直接寫出點M的坐標，并求出經過A、M、B三點的拋物線的解析式；
（2）在此運動的過程中，△MNA為直角三角形的情況？若存在，請求出t的值．若不存在，請說明理由．
（3）當t為何值時，△MNA是一個等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)路程=時間×速度可求出OM的長度，從而得出點M的坐標，設此時經過A、M、B三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由A、M、B三點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出經過A、M、B三點的拋物線的解析式；
（2）假設存在，由∠A不為直角可知，△MNA為直角三角形只有兩種情況，分別考慮∠AMN或∠ANM為90°的情況，利用相似三角形的性質可得出比例關系，由此得出關于時間t的一元一次方程，解方程即可得出結論；
（3）過點N作NE⊥x軸于點E，通過相似三角形的性質找出點N的坐標，由兩點間的距離公式找出線段AN、AM、MN的長度，結合等腰三角形的性質分三種情況考慮，根據(jù)線段相等得出關于時間t的一元二次方程，解方程即可得出結論．

解答 解：（1）當t=3時，OM=2×3=6，
∴點M的坐標為（-6，0）．
設此時經過A、M、B三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A（-12，0）、B（0，16）、M（-6，0）代入到拋物線解析式中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=144a-12b+c}\\{16=c}\\{0=36a-6b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{9}}\\{b=4}\\{c=16}\end{array}\right.$．
∴當t=3秒時，點M的坐標為（-6，0），此時經過A、M、B三點的拋物線的解析式為y=$\frac{2}{9}{x}^{2}$+4x+16．
（2）假設存在．
當運動時間為t時，OM=2t，AN=$\frac{10}{3}$t，AM=AO-OM=12-2t．
在Rt△ABO中，AO=12，BO=16，∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=20．
20÷$\frac{10}{3}$=6（秒）；
12÷2=6（秒）．
∴0≤t≤6．
△MNA為直角三角形分兩種情況：
①∠AMN=90°時，∠AMN=∠AOB=90°，∠A=∠A，
∴△AMN∽△AOB，
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AO}$，即40t=240-40t，
解得：t=3；
②∠ANM=90°時，∠ANM=∠AOB=90°，∠A=∠A，
∴△ANM∽△AOB，
∴$\frac{AN}{AO}=\frac{AM}{AB}$，即$\frac{50}{3}$t=36-6t，
解得：t=$\frac{27}{17}$．
故在此運動的過程中，當t的值為3或$\frac{27}{17}$時，△MNA為直角三角形．
（3）過點N作NE⊥x軸于點E，如圖所示．

∵NE⊥x軸，BO⊥x軸，
∴NE∥BO，
∴△ANE∽△ABO，
∴$\frac{NE}{BO}=\frac{AE}{AO}$=$\frac{AN}{AB}$，
又∵AN=$\frac{10}{3}$t，
∴NE=$\frac{BO•AN}{AB}$=$\frac{8}{3}$t，AE=$\frac{AO•AN}{AB}$=2t，OE=AO-AE=12-2t，
∴點N的坐標為（2t-12，$\frac{8}{3}$t）．
又∵點A（-12，0），點M（-2t，0），
∴AN=$\frac{10}{3}$t，AM=12-2t，MN=$\sqrt{[2t-12-（-2t）]^{2}+（\frac{8}{3}t）^{2}}$．
△MNA是一個等腰三角形分三種情況：
①AN=AM，即$\frac{10}{3}$t=12-2t，
解得：t=$\frac{9}{4}$；
②AN=MN，即$\frac{10}{3}$t=$\sqrt{[2t-12-（-2t）]^{2}+（\frac{8}{3}t）^{2}}$，
解得：t=2，或t=6，
當t=6時，A、M點重合，不成三角形，
∴t=2．
③AM=MN，即12-2t=$\sqrt{[2t-12-（-2t）]^{2}+（\frac{8}{3}t）^{2}}$，
解得：t=0，或t=$\frac{108}{43}$，
當t=0時，A、N點重合，不成三角形，
∴t=$\frac{108}{43}$．
綜上可知：當t為2、$\frac{9}{4}$或$\frac{108}{43}$秒時，△MNA是一個等腰三角形．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定及性質、解直角三角形、解一元一次（一元二次）方程以及等腰三角形的性質，解題的關鍵：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）找出關于時間t的一元一次方程；（3）找出關于時間t的一元二次方程組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)相似三角形的性質（等腰三角形的性質）得出關于時間t的方程是關鍵．