Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中點(diǎn)，DE⊥AM于點(diǎn)E．
（1）求證：△ADE∽△MAB；
（2）求EM的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠B=90°，AD∥BC，則∠DAE=∠AMB，而DE⊥AM，所以∠B=∠AED=90°，于是根據(jù)相似三角形的判定即可得到△ADE∽△MAB；
（2）由M是BC中點(diǎn)，AD=BC=6得到BM=3，在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得AM=5，再由△ADE∽△MAB，利用相似比計(jì)算出AE，然后利用EM=AM-AE求解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
∵DE⊥AM
∴∠B=∠AED=90°，
∴△ADE∽△MAB；

（2）解：∵M(jìn)是BC中點(diǎn)，AD=BC=6
∴BM=

1

2

BC=3，
在Rt△ABM中，AB=4，
∴AM=

AB2+BM2

=5，
∵△ADE∽△MAB，
∴

AE

BM

=

AD

AM

，即

AE

3

=

6

5

，
∴AE=

18

5

，
∴EM=AM-AE=5-

18

5

=

7

5

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等．也考查了勾股定理和矩形的性質(zhì)．