Question

14．如圖，拋物線y=x²+bx+c的頂點為D（-1，-4），與y軸相交于點C（0，-3）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），連接AC、CD、AD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）試證明△ACD為直角三角形；
（3）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使得以A、B、E、F四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由待定系數(shù)法將D，C點代入，從而得到b，c的值而得解析式；
（2）由解析式求解得到點A，得到AC，CD，AD的長度，而求證；
（3）由（2）得到的結論，進行代入，要使以A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，必須滿足的條件是AB平行且等于EF，那么只需將E點的坐標向左或向右平移AB長個單位即可得出F點的坐標，然后將得出的F點坐標代入拋物線的解析式中，即可判斷出是否存在符合條件的F點．

解答 （1）解：由題意得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
則解析式為：y=x²+2x-3；

（2）證明：由題意結合圖形
則解析式為：y=x²+2x-3，
當y=0時，0=x²+2x-3，
解得：x=1或x=-3，
由題意點A（-3，0），
∴AC=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{5}$，
由AC²+CD²=AD²，
所以△ACD為直角三角形；

（3）解：∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵點E在拋物線的對稱軸上，
∴點E的橫坐標為-1，
當AB為平行四邊形的一邊時，EF=AB=4，
∴F的橫坐標為3或-5，
把x=3或-5分別代入y=x²+2x-3，得到F的坐標為（3，12）或（-5，12）；
當AB為平行四邊形的對角線時，由平行四邊形的對角線互相平分，
∴F點必在對稱軸上，即F點與D點重合，
∴F（-1，-4）．
∴所有滿足條件的點F的坐標為（3，12），（-5，12），（-1，-4）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質等知識點，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法得出是解題關鍵．