Question

19．定義：對(duì)于拋物線y=ax²+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b²=ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y=x²-x+1是黃金拋物線
（1）請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋�(gè)與上例不同的黃金拋物線的解析式；
（2）將黃金拋物線y=x²-x+1沿對(duì)稱軸向下平移3個(gè)單位
①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；
②新拋物線如圖所示，與x軸交于A、B（A在B的左側(cè)），與y軸交于C，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
③當(dāng)直線BC下方的拋物線上動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 OBPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形OBPC的最大面積．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)黃金拋物線的定義寫一個(gè)解析式即可；
（2）①根據(jù)平移的知識(shí)直接寫出新拋物線的解析式；
②設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-x-2），PP′交CO于E，若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO，連結(jié)PP′則PE⊥CO于E，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，進(jìn)而解方程求出x的值；
③過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，x²-x-2），先求出BC的直線解析式，進(jìn)而設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-2），根據(jù)S_{四邊形OBPC}=S_△OBC+S_△BPQ+S_△CPQ列出x的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)以及面積最大值．

解答 解：（1）不唯一，例如：y=x²+x+1；
（2）①：y=x²-x-2；
②存在點(diǎn)P，如圖1，使四邊形POP′C為菱形．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²-x-2），PP′交CO于E
若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO．
連結(jié)PP′則PE⊥CO于E，
∴OE=EC=1，
∴y=-1，
∴x²-x-2=-1
解得x₁=$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，x₂=$\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}$（不合題意，舍去）
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，-1）；
③過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，x²-x-2），
易得，直線BC的解析式：y=x-2
則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-2）．
S_{四邊形OBPC}=S_△OBC+S_△BPQ+S_△CPQ
=$\frac{1}{2}$OB•OC+$\frac{1}{2}$QP•OF+$\frac{1}{2}$QP•FB=$\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}（-{x^2}+2x）×2$
=-（x-1）²+3，
當(dāng)x=1時(shí)，四邊形OBPC的面積最大
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2），
四邊形OBPC的面積最大值是3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，此題涉及黃金拋物線新定義、菱形的判定與性質(zhì)、四邊形面積的求法等知識(shí)，解答此題要掌握黃金拋物線的定義，解答（2）問需要掌握菱形的性質(zhì)以及分割法求四邊形的面積，此題難度不大．