Question

4．設實數a是不等于1的正數，證明：下列三個方程（x-a）（x-a²）=x-a³，（x-a²）（x-a³）=x-a，（x-a³）（x-a）=x-a²中至少有兩個方程存在實數根．

Answer 1

分析 令函數y₁=（x-a）（x-a²）-（x-a³）、y₂=（x-a²）（x-a³）-（x-a）、y₃=（x-a³）（x-a）-（x-a²），可知三個函數均為二次項系數為正的二次函數，若a＞1知1＜a＜a²＜a³，繼而可得x=a²時y₂＜0、x=a³時y₃＜0，即第一、三兩個方程有實數根，同理可判斷0＜a＜1時方程的根的情況．

解答 解：設a＞1，1＜a＜a²＜a³，令函數
y₁=（x-a）（x-a²）-（x-a³），
y₂=（x-a²）（x-a³）-（x-a），
y₃=（x-a³）（x-a）-（x-a²），
三個函數均為二次項系數為正的二次函數，
當x=a²時，y₂=a-a²=a（1-a）＜0，
當x=a³時，y₃=a²-a³=a²（1-a）＜0，
∴方程（x-a²）（x-a³）=x-a、（x-a³）（x-a）=x-a²存在實數根；
設0＜a＜1，0＜a³＜a²＜a＜1，
當x=a時，y₁=-a+a³=a（a²-1）＜0，
當x=a時，y₃=-a+a²=a（a-1）＜0，
∴方程（x-a）（x-a²）=x-a³、（x-a³）（x-a）=x-a²存在實數根；
綜上，三個方程（x-a）（x-a²）=x-a³，（x-a²）（x-a³）=x-a，（x-a³）（x-a）=x-a²中至少有兩個方程存在實數根．

點評 本題主要考查方程的根的情況，將判斷一元二次方程根的情況轉化為判斷二次函數與x軸交點情況來求是解題的關鍵．