Question

20．如圖，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是∠CAD平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥AD于點(diǎn)N，BE=CE．
（1）請(qǐng)你在不添加輔助線的情況下寫出一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形，并加以證明；
（2）若AB=8，AC=10，求AM的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）在△EAN和△EAM中可利用AAS證明其全等；
（2）由條件可證明△ENB≌△EMC，可求得AC=NB，則可求得NA，結(jié)合（1）可求得AM．

解答 解：
（1）△EAN≌△EAM，
證明如下：
∵EA平分∠CAD，
∴∠EAN=∠EAM，
∵EM⊥AC，EN⊥AD，
∴∠ENA=∠EMA=90°，
在△EAN和△EAM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAN=∠EAM}\\{∠ENA=∠EMA}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△EAN≌△EAM（AAS）；
（2）由（1）可知EN=EM，
在Rt△△ENB和Rt△EMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EN=EM}\\{EB=EC}\end{array}\right.$
∴Rt△ENB≌Rt△EMC（HL），
∴AC=NB=10，
∴NA=BN-AB=10-8=2，
又由（1）可知AM=NA，
∴AM=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．