Question

18．有一組鄰邊相等，且另外兩邊也相等的四邊形我們把它叫做箏形，如圖1，四邊形ABCD中，AD=DC，AB=BC，那么四邊形ACBD叫做箏形．
（1）如圖2，已知箏形ABCD的周長是18，AD=CD=3，那么AB=6；
（2）在探索箏形的性質時，發(fā)現(xiàn)箏形有一組對角相等，如圖1，箏形ABCD中，AD=DC，AB=BC，那么∠A=∠C，請證明這個結論；
（3）如圖2，箏形ABCD中，AD=DC=$\sqrt{2}$，∠ADC=90°，∠DAB=105°，求箏形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形周長為四邊的和，相減得AB的長；
（2）連接BD，證明所在的兩個三角形全等；
（3）箏形ABCD的面積等于兩個三角形面積的和，主要求AC的OB的長，并說明OB是AC邊上的高即可．

解答 解：（1）如圖2，∵四邊形ABCD為箏形，
∴AB=BC，
∵箏形ABCD的周長是18，AD=CD=3，
∴AB=$\frac{18-2×3}{2}$=6，
故答案為：6；
（2）如圖1，連接DB，
∵AD=DC，AB=BC，BD=BD，
∴△ADB≌△CDB，
∴∠A=∠C
（3）如圖2，
∵∠ADC=90°，AD=CD=$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2，
∵四邊形ABCD為箏形，
∴∠DAB=∠DCB=105°，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AD=CD，AB=BC，
∴BD是AC的中垂線，
∴BD⊥AC，
∴AO=CO=1，
∴tan∠BAC=$\frac{BO}{AO}$，
∴BO=1×tan60°=$\sqrt{3}$，
∴S_箏形ABCD=S_△ADC+S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•CD+$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=1+$\sqrt{3}$．

點評 本題研究了一個新的圖形--箏形的定義和性質，考查了學生的閱讀理解能力，同時還考查了線段垂直平分線、等邊三角形、等腰直角三角形的性質，運用勾股定理和特殊的三角函數(shù)值求邊長；如果求不規(guī)則四邊形的面積，通常采用轉化為規(guī)則圖形面積的和或差來求．