Question

3．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．
（1）當點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ABC；
（2）當△PQB為等腰三角形時，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），證明△AQP∽△ABC；
（2）當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．
①當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）關(guān)系計算AP的長；
②當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關(guān)系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP．

解答 （1）證明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP=90°=∠ABC，
在△APQ與△ABC中，
∵∠AQP=90°=∠ABC，∠A=∠A，
∴△AQP∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠QPB為鈍角，
∴當△PQB為等腰三角形時，
①當點P在線段AB上時，如題圖1所示．
∵∠QPB為鈍角，
∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴$\frac{PA}{AC}$=$\frac{PQ}{BC}$，即 $\frac{3-PB}{5}$=$\frac{PB}{4}$，解得：PB=$\frac{4}{3}$，
∴AP=AB-PB=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$；
（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．
∵∠QBP為鈍角，
∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=BQ．
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，點B為線段AP中點，
∴AP=2AB=2×3=6．
綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為 $\frac{5}{3}$或6．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．