Question

19．如圖，在坐標(biāo)平面中，直線y=$\frac{1}{2}$x-4分別交x軸、y軸于A、B，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點(diǎn)（-2，-6）．
（1）求k的值；
（2）點(diǎn)C在AD上方第一象限的反比例函數(shù)圖象上，過點(diǎn)C作y軸的平行線交直線AB于D，若CD=3，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，P在x軸上，Q在y=$\frac{12}{x}$上，若以P、Q、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）如圖1中，設(shè)C（m，$\frac{12}{m}$）．根據(jù)題意求出點(diǎn)D坐標(biāo)，由CD=3，列出方程即可解決問題；
（3）分三種情形討論①當(dāng)PC為對角線時(shí)，四邊形BPQC為平行四邊形，②當(dāng)BC為對角線時(shí)，四邊形BPCQ為平行四邊形，③當(dāng)PB為對角線時(shí)，四邊形BQPC為平行四邊形，利用平移的性質(zhì)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題；

解答 解：（1）由題意A（8，0），B（0，-4），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過點(diǎn)（-2，-6），
∴k=12，

（2）如圖1中，設(shè)C（m，$\frac{12}{m}$）．

∵CD∥y軸，點(diǎn)D在y=$\frac{1}{2}$x-4上，
∴D（m，$\frac{1}{2}$m-4），
∴CD=$\frac{12}{m}$-（$\frac{1}{2}$m-4）=3，
解得m=6或-4（舍棄），
∴C（6，2）．

（3）如圖2中，設(shè)P（n，0）．

①當(dāng)PC為對角線時(shí)，四邊形BPQC為平行四邊形，
∴PB∥QC，PB=QC，
∴QC可以看作是由PB平移所得，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{Q}-{x}_{P}={x}_{C}-{x}_{B}}\\{{y}_{Q}-{y}_{P}={y}_{C}-{y}_{B}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{Q}=n+6}\\{{y}_{Q}=6}\end{array}\right.$，
∴Q（n+6，6），
∵點(diǎn)Q在y=$\frac{12}{x}$上，
∴6（n+6）=12，
∴n=-4，
∴P₁（-4，0），Q₁（2，6）．
②當(dāng)BC為對角線時(shí)，四邊形BPCQ為平行四邊形，同法可得Q（6-n，-2），
∵點(diǎn)Q在y=$\frac{12}{x}$上，
∴-2（6-n）=12，
∴n=12，
∴P₂（12，0），Q₂（-6，-2）．
③當(dāng)PB為對角線時(shí)，四邊形BQPC為平行四邊形，同法可得Q（n-6，-6），
∵點(diǎn)Q在y=$\frac{12}{x}$上，
∴-6（n-6）=12，
∴n=4，
∴P₃（4，0），Q₃（-2，-6），
但是此時(shí)P、Q、B、C共線，此種情形不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．