Question

11．已知如圖：在平面直角坐標系xOy中，直線y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是直線AB上一動點，⊙P的半徑為1．
①判斷原點O與⊙P的位置關系，并說明理由；
②當⊙P過點B時，求⊙P被y軸所截得的劣弧的長；
③當⊙P與x軸相切時，求出切點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由直線y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A，B兩點，可求得點A與點B的坐標，繼而求得∠OBA=30°，然后過點O作OH⊥AB于點H，利用三角函數(shù)可求得OH的長，繼而求得答案；
（2）當⊙P過點B時，點P在y軸右側(cè)時，易得⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角為：180°-30°-30°=120°，則可求得弧長；同理可求得當⊙P過點B時，點P在y軸左側(cè)時，⊙P被y軸所截得的劣弧的長；
（3）首先求得當⊙P與x軸相切時，且位于x軸下方時，點D的坐標，然后利用對稱性可以求得當⊙P與x軸相切時，且位于x軸上方時，點D的坐標

解答 解：（1）原點O在⊙P外．
理由：∵直線y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A，B兩點，
∴點A（2，0），點B（0，-2$\sqrt{3}$），
在Rt△OAB中，tan∠OBA=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OBA=30°，
如圖1，過點O作OH⊥AB于點H，
在Rt△OBH中，OH=OB•sin∠OBA=$\sqrt{3}$，
∵$\sqrt{3}$＞1，
∴原點O在⊙P外；

（2）如圖2，當⊙P過點B時，點P在y軸右側(cè)時，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠OBA=30°，
∴⊙P被y軸所截的劣弧所對的圓心角為：180°-30°-30°=120°，
∴弧長為：$\frac{120π×1}{180}$=$\frac{2π}{3}$；
同理：當⊙P過點B時，點P在y軸左側(cè)時，弧長同樣為：$\frac{2π}{3}$；
∴當⊙P過點B時，⊙P被y軸所截得的劣弧的長為：$\frac{2π}{3}$；

（3）如圖3，當⊙P與x軸相切時，且位于x軸下方時，設切點為D，
在PD⊥x軸，
∴PD∥y軸，
∴∠APD=∠ABO=30°，
∴在Rt△DAP中，AD=DP•tan∠DPA=1×tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OD=OA-AD=2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴此時點D的坐標為：（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）；
當⊙P與x軸相切時，且位于x軸上方時，根據(jù)對稱性可以求得此時切點的坐標為：（2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）；
綜上可得：當⊙P與x軸相切時，切點的坐標為：（2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）或（2+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）．

點評 此題考查了和圓有關的綜合題，用到的知識點有一次函數(shù)圖象上點的坐標的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、弧長公式以及三角函數(shù)等知識．注意準確作出輔助線，注意分類討論思想的應用．