Question

2．在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明利用同弧所對(duì)的圓周角及圓心角的性質(zhì)探索了一些問題，下面請(qǐng)你和小明一起進(jìn)入探索之旅．
問題情境：
（1）如圖1，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，則△ABC的外接圓的半徑為2．
操作實(shí)踐：
（2）如圖2，在矩形ABCD中，請(qǐng)利用以上操作所獲得的經(jīng)驗(yàn)，在矩形ABCD內(nèi)部用直尺與圓規(guī)作出一點(diǎn)P．點(diǎn)P滿足：∠BPC=∠BEC，且PB=PC．
（要求：用直尺與圓規(guī)作出點(diǎn)P，保留作圖痕跡．）
遷移應(yīng)用：
（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一點(diǎn)B，坐標(biāo)為（2，m）．過點(diǎn)B作AB⊥y軸，BC⊥x軸，垂足分別為A、C，若點(diǎn)P在線段AB上滑動(dòng)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A、B重合），發(fā)現(xiàn)使得∠OPC=45°的位置有兩個(gè)，則m的取值范圍為2≤m＜1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）連接OB、OC，只要證明△OBC是等邊三角形即可．
（2）如圖2中，作BC的垂直平分線，交BE于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．
（3）如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以O(shè)C為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．當(dāng)EK=KC=時(shí)，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時(shí)m=BC=1+$\sqrt{2}$，在AB上只有一個(gè)點(diǎn)P滿足∠OPC=$\frac{1}{2}$OKC=45°，當(dāng)BK=$\sqrt{2}$時(shí)，在AB上恰好有兩個(gè)點(diǎn)P滿足∠OPC=$\frac{1}{2}$∠OKC=45°，此時(shí)m=BC=2，由此不難得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1中，連接OB、OC．

∵∠BOC=2∠A，∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=OC=BC=2，
故答案為：2；

（2）如圖2中，作BC的垂直平分線，交BE于點(diǎn)O；
以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點(diǎn)P，
則點(diǎn)P為所求．


（3）如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以O(shè)C為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．

∵OC=2，
∴OK=KC=$\sqrt{2}$，
當(dāng)EK=KC=$\sqrt{2}$時(shí)，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時(shí)m=BC=1+$\sqrt{2}$，在AB上只有一個(gè)點(diǎn)P滿足∠OPC=$\frac{1}{2}$∠OKC=45°，
當(dāng)BK=$\sqrt{2}$時(shí)，在AB上恰好有兩個(gè)點(diǎn)P滿足∠OPC=$\frac{1}{2}$∠OKC=45°，此時(shí)m=BC=2，
綜上所述，滿足條件的m的值的范圍為2≤m＜1+$\sqrt{2}$．
故答案為2≤m＜1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、圓周角定理、作圖-復(fù)雜作圖、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用圓周角等于同弧所對(duì)的圓心角的一半解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．