Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx的對(duì)稱軸為x=$\frac{3}{4}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m（0＜m＜2），過(guò)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，交OA于點(diǎn)C．點(diǎn)O關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接CD、AD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)最��；
（3）若△ACD為等腰三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸公式和代入法可得關(guān)于a，b的方程組，解方程組可得拋物線的解析式；
（2）因?yàn)镺與D關(guān)于直線PB的對(duì)稱，所以PB垂直平分OD，則CO=CD，因?yàn)椋�△ACD的周長(zhǎng)=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO+AD，AO=$\sqrt{O{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，所以當(dāng)AD最小時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)最�。桓鶕�(jù)垂線段最短，可知此時(shí)點(diǎn)D與E重合，其橫坐標(biāo)為2，故m=1．
（3）由中垂線得出CD=OC，再將OC、AC、AD用m表示，然后分情況討論分別得到關(guān)于m的方程，解得m，再根據(jù)已知條件選取符合題意的點(diǎn)P坐標(biāo)即可

解答 解：（1）依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=\frac{3}{4}}\\{4a+2b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴y=x²-$\frac{3}{2}$x
（2）m=1
（3）依題意，得B（m，0）
在RT△OBC中，OC²=OB²+BC²=m²+（$\frac{1}{2}$m）²=$\frac{5}{4}$m²，
∴OC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m．
又∵O，D關(guān)于直線PC對(duì)稱，
∴CD=OC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m
在RT△AOE中，OA=$\sqrt{O{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴AC=OA-OC=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$m
在RT△ADE中，AD²=AE²+DE²=1²+（2-2m）²=4m²-8m+5
分三種情況討論：
①若AC=CD，即$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m，解得m=1，∴P（1，-$\frac{1}{2}$）；
②若AC=AD，則有AC²=AD²，即5-5m+$\frac{5}{4}$m²=4m²-8m+5
解得m₁=0，m₂=$\frac{12}{11}$．
∵0＜m＜2，
∴m=$\frac{12}{11}$，
∴P（$\frac{12}{11}$，-$\frac{54}{121}$）；
③若DA=DC，則有DA²=DC²，即4m²-8m+5=$\frac{5}{4}$m²，
解得m₁=$\frac{10}{11}$，m₂=2．
∵，0＜m＜2，
∴m=$\frac{10}{11}$，
∴P（$\frac{10}{11}$，-$\frac{65}{121}$）
綜上所述，當(dāng)△ACD為等腰三角形是，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁（1，-$\frac{1}{2}$），P₂（$\frac{12}{11}$，-$\frac{54}{121}$），P₃（$\frac{10}{11}$，-$\frac{65}{121}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題看出二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中心對(duì)稱，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，滲透分類討論思想