Question

3．如圖，在正方形ABCD與等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，連接DF，點P是FD的中點，連接PE、PC．
（1）如圖1，當點E在CB邊上時，求證：PE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$CE；
（2）如圖2，當點E在CB的延長線上時，線段PC、CE有怎樣的數(shù)量關系，寫出你的猜想，并給與證明．

Answer 1

分析 （1）延長EP交DC于點G，由正方形的性質(zhì)和已知條件可證明△PEF≌△PGD（AAS），進而可證明△CGE是等腰直角三角形，則CP⊥GE，CP=$\frac{1}{2}$EG=PE，所以△CPE是等腰直角三角形．由等腰三角形的性質(zhì)可得PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，問題得證；
（2）PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，延長EP交CD的延長線于點G，由（1）的證明思路即可證得．

解答 解：（1）延長EP交DC于點G，如圖（1）所示：
∵∠FEC=∠DCE=90°，
∴EF∥CD，
∴∠PFE=∠PDG，
又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，
∴在△PEF和△PGD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠PDG}\\{∠EPF=∠GPD}\\{PF=PD}\end{array}\right.$
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE=PG，EF=GD，
∵BE=EF，
∴BE=GD．
∵CD=CB，
∴CG=CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP=$\frac{1}{2}$EG=PE，
∴△CPE是等腰直角三角形．
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE；
（2）PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，理由如下：如圖（2）所示：
延長EP交CD的延長線于點G，
∵∠FEB+∠DCB=180°，
∴EF∥CD，
∴∠PEF=∠PGD，
又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，
∴在△PEF和△PGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠PDG}\\{∠EPF=∠GPD}\\{PF=PD}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△PGD（AAS），
∴PE=PG，EF=GD，
∵BE=EF，
∴BE=GD．
∵CD=CB，
∴CG=CE，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CP⊥GE，CP=$\frac{1}{2}$EG=PE，
∴△CPE是等腰直角三角形．
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE．

點評 本題考查了四邊形的綜合性題目，用到的知識點有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度較大，熟記各種特殊幾何圖形的判定方法和性質(zhì)是解題的關鍵．