Question

6．定義：對(duì)于線段MN和點(diǎn)P，當(dāng)PM=PN，且∠MPN≤120°時(shí)，稱點(diǎn)P為線段MN的“等距點(diǎn)”．特別地，當(dāng)PM=PN，且∠MPN=120°時(shí)，稱點(diǎn)P為線段MN的“強(qiáng)等距點(diǎn)”．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為$（2\sqrt{3}，0）$．

（1）若點(diǎn)B是線段OA的“強(qiáng)等距點(diǎn)”，且在第一象限，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1）；
（2）若點(diǎn)C是線段OA的“等距點(diǎn)”，則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)t的取值范圍是t≥1或t≤-1；
（3）將射線OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到射線l，如圖2所示．已知點(diǎn)D在射線l上，點(diǎn)E在第四象限內(nèi)，且點(diǎn)E既是線段OA的“等距點(diǎn)”，又是線段OD的“強(qiáng)等距點(diǎn)”，求點(diǎn)D坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)“強(qiáng)等距點(diǎn)”的定義可得出∠ABO=120°，BO=BA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值即可求出線段OM、BM的長(zhǎng)度，再由點(diǎn)B在第一象限即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論以及“等距點(diǎn)”的定義，即可得出t的取值范圍；
（3）根據(jù)“等距點(diǎn)”和“強(qiáng)等距點(diǎn)”的定義可得出相等的線段和角，在直角三角形中利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再通過(guò)平行線的性質(zhì)找出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖1所示．

∵點(diǎn)B是線段OA的“強(qiáng)等距點(diǎn)”，
∴∠ABO=120°，BO=BA，
∵BM⊥x軸于點(diǎn)M，
∴OM=AM=$\frac{1}{2}$OA=$\sqrt{3}$，∠OBM=$\frac{1}{2}$∠ABO=60°．
在Rt△OBM中，OM=$\sqrt{3}$，∠OBM=60°，
∴BM=$\frac{OM}{tan∠OBM}$=1．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1）或（$\sqrt{3}$，-1），
∵點(diǎn)B在第一象限，
∴B（$\sqrt{3}$，1）．
故答案為：（$\sqrt{3}$，1）．
（2）由（1）可知：線段OA的“強(qiáng)等距點(diǎn)”坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，-1）或（$\sqrt{3}$，1）．
∵C是線段OA的“等距點(diǎn)”，
∴點(diǎn)C在點(diǎn)（$\sqrt{3}$，1）的上方或點(diǎn)（$\sqrt{3}$，-1）下方，
∴t≥1或t≤-1．
故答案為：t≥1或t≤-1．
（3）根據(jù)題意畫出圖形，如圖2所示．

∵點(diǎn)E是線段OA的“等距點(diǎn)”，
∴EO=EA，
∴點(diǎn)E在線段OA的垂直平分線上．設(shè)線段OA的垂直平分線交x軸于點(diǎn)F．
∵A（2$\sqrt{3}$，0），
∴F（$\sqrt{3}$，0）．
∵點(diǎn)E是線段OD的“強(qiáng)等距點(diǎn)”，
∴EO=ED，且∠OED=120°，
∴∠EOD=∠EDO=30°．
∵點(diǎn)E在第四象限，
∴∠EOA=60°．
∴在Rt△OEF中，EF=OF•tan∠EOA=3，OE=$\frac{OF}{cos∠EOA}$=2$\sqrt{3}$．
∴E（$\sqrt{3}$，-3）．
∴DE=OE=2$\sqrt{3}$．
∵∠AOD=∠EOD=30°，
∴ED∥OA．
∴D（3$\sqrt{3}$，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形、特殊角的三角形函數(shù)值、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出線段OM、BM的長(zhǎng)度；（2）求出點(diǎn)C為“強(qiáng)等距點(diǎn)”時(shí)得坐標(biāo)；（3）求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，讀懂題意明白“等距點(diǎn)”和“強(qiáng)等距點(diǎn)”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．