Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a（x+1）（x-3）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，拋物線的頂點(diǎn)為P，規(guī)定：拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“G區(qū)域”（不包含邊界）．
（1）如果該拋物線經(jīng)過(guò)（1，3），求a的值，并指出此時(shí)“G區(qū)域”有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)；（整數(shù)點(diǎn)就是橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
（2）求拋物線y=a（x+1）（x-3）的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）的條件下，如果G區(qū)域中僅有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)（1，3）代入拋物線解析式中，即可求出a值，再分析當(dāng)x=0、1、2時(shí)，在“G區(qū)域”內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得出結(jié)論；
（2）利用配方法將拋物線的解析式變形為頂點(diǎn)式，由此即可得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）分a＜0及a＞0兩種情況考慮，依照題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形找出關(guān)于a的不等式組，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線y=a（x+1）（x-3）經(jīng)過(guò)（1，3），
∴3=a（1+1）（1-3），
解得：a=-$\frac{3}{4}$．
當(dāng)y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3）=0時(shí)，x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3）=$\frac{9}{4}$，
∴（0，1）、（0，2）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“G區(qū)域”；
當(dāng)x=1時(shí)，y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3）=3，
∴（1，1）、（1，2）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“G區(qū)域”；
當(dāng)x=2時(shí)，y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3）=$\frac{9}{4}$，
∴（2，1）、（2，2）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“G區(qū)域”．
綜上所述：此時(shí)“G區(qū)域”有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)．
故答案為：6．
（2）∵y=a（x+1）（x-3）=a（x-1）²-4a，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-4a）．
（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=a（x+1）（x-3）=-3a，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3a）．
當(dāng)a＜0時(shí)，如圖1所示，
此時(shí)有$\left\{\begin{array}{l}{2＜-4a≤3}\\{-3a≤2}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{2}{3}$≤a＜-$\frac{1}{2}$；
當(dāng)a＞0時(shí)，如圖2所示，
此時(shí)有$\left\{\begin{array}{l}{-3≤-4a＜-2}\\{-3a≥-2}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{2}{3}$．
綜上所述：在（2）的條件下，如果G區(qū)域中僅有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)時(shí)，則a的取值范圍為-$\frac{2}{3}$≤a＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是：（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，尋找“G區(qū)域”內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）利用配方法將拋物線解析式變形為頂點(diǎn)式；（3）依照題意，畫(huà)出圖形，觀察圖形找出關(guān)于a的一元一次不等式組．