Question

7．如圖，圓心都在x軸正半軸上的半圓O₁、半圓O₂、…、半圓O_n與直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$相切，設半圓O₁、半圓O₂、…、半圓O_n的半徑分別是r₁、r₂、…、r_n，則當r₁=1時，r₂₀₁₆=3²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 先求出r₁=1，r₂=3，r₃=9…r_n=3^n-1，根據(jù)規(guī)律即可解決．

解答 解：設A、B、C是切點，由題意直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x與x軸的夾角為30°，
在RT△OO₁A中，∵AO₁=1，∠AOO₁=30°，
∴OO₁=2AO₁=2，
同理：OO₂=2BO₂，OO₃=2CO₃，
∴3+r₂=2r₂，
∴r₂=3，
9+r₃=2r₃，
r₃=9，
∴r₁=1，r₂=3，r₃=9…r_n=3^n-1，
∴r₂₀₁₆=3²⁰¹⁵．
故答案為3²⁰¹⁵．

點評 本題考查圓的切線的性質、直角三角形中30度角的性質、學會從特殊到一般的推理方法，尋找規(guī)律是解決問題的關鍵．