Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O位坐標原點，等邊△OAB的點B的坐標為（6，0），點A在第一象限，點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒2個單位的速度向B運動，同時點Q從O出發(fā)沿x軸也以每秒2個單位的速度向x軸負半軸運動，當點P停止時，點Q也隨之停止，連接PQ，交邊OA于點D．
（1）設點P，Q運動時間為t秒（0＜t＜3），AD=m，試求m與t的關系式；
（2）t為何值時，∠OQP=30°；
（3）在（2）的條件下，點A關于PQ對稱的點為E，連接DE，試判斷DE與OB位置關系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）過P作PC∥OB，交OA于點C，易證∠CPQ=∠OPQ，即可證明△DOQ≌△DCP，可得OD=CD，即可解題；
（2）易證OQ=OD，即可求得t的值，即可解題；
（3）在（2）的結(jié)論下可以證明∠APD=90°，即可得△ADP≌△EDP，即可求得∠ADE=60°=∠AOB，即可解題．

解答：解：（1）過P作PC∥OB，交OA于點C，如圖1，

則△ACP為等邊三角形，
∴AC=AP=CP=2t，
∵PC∥OB，
∴∠CPQ=∠OPQ，
在△DOQ和△DCP中，

∠ODQ=∠CDP ∠CPQ=∠OQP OQ=CP=2t

，
∴△DOQ≌△DCP，（AAS）
∴OD=CD=

6-2t

2

=3-t，
∴m=CD+AC=3-t+2t=3+t；
（2）∵∠AOB=∠OQD+∠ODQ=60°，
∠OQP=30°，
∴∠ODQ=30°，
∴OQ=OD，即2t=6-2t，
∴t=

3

2

，
∴t=

3

2

 時，∠OQP=30°；
（3）過P作PC∥OB，交OA于點C，如圖2，

∵∠CPD=∠OQD=30°，∠APC=60°，
∴∠APD=90°，即AP⊥PD，
∴E點位于AE上，且△ADP≌△EDP，
∴∠ADE=∠ADP+∠PDE=2∠ADP=60°，
∵∠AOB=60°，
∴DE∥OB．

點評：本題考查了全等三角形的判定和全等三角形對應邊、對應角相等的性質(zhì)，本題中求證△DOQ≌△DCP是解題的關鍵．