Question

17．如圖，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AC，連接BC．
①補(bǔ)全圖形，并直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)：（7，4）；
②點(diǎn)D是直線y=x上的一個點(diǎn)，且滿足S_△ABD=S_△ABC，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），則OA=4，OB=3，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）由點(diǎn)D是直線y=x上的一個點(diǎn)，設(shè)D（m，m），根據(jù)S_△ABD=S_△ABC，得到CD∥AB，求得直線CD的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{37}{4}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，當(dāng)x=0時，y=-$\frac{3}{4}$x+3=3，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
當(dāng)y=0時，-$\frac{3}{4}$x+3=0，解得x=4，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
則OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵將線段AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AC，
∴∠BAC=90°，AB=AC=5，
過C作CE⊥x軸于E，
∴∠ADC=∠AOB=90°，
在△AOB與△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠AOB}\\{∠ABC=∠EAC}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AEC，
∴CE=OA=4，AE=OB=3，
∴C（7，4）；
故答案為：（7，4）；

（2）∵點(diǎn)D是直線y=x上的一個點(diǎn)，
設(shè)D（m，m），
∵S_△ABD=S_△ABC，
∴CD∥AB，
設(shè)直線CD的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+b，
∴-$\frac{3}{4}$×7+b=4，
∴b=$\frac{37}{4}$，
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{37}{4}$，
∴m=-$\frac{3}{4}$m+$\frac{37}{4}$，
∴m=$\frac{37}{7}$，
∴D（$\frac{37}{7}$，$\frac{37}{7}$）．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的變換-旋轉(zhuǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．