Question

6．如圖，正方形ABCD中，P為邊AB上一動點，BF是∠ABC的外角平分線，Q是BF上一點，且PQ=DP，那么DP與PQ是否一定滿足垂直關系？說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，通過作輔助線構造出直角三角形；借助正方形的性質(zhì)及勾股定理等知識判斷出線段BE=FG，進而可以判斷出△ABE≌△EGF，問題即可解決．

解答 解：過點Q作QG⊥AB于點G
設正方形的邊長為a，AP=x，QG=y；
∵四邊形ABCD為正方形，且BF為外角平分線，
∴∠FBG=45°，故∠BQG=∠GBQ=45°；
∴BG=QG=y，PG=a-x+y；
∵DP=PQ，
∴DP²=PQ²；
由勾股定理得：DP²=a²+x²，PQ²=（a-x+y）²+y²，
故a²+x²=（a-x+y）²+y²，
∵（a-x+y）²+y²=（a-x）²+2（a-x）y+y²+y²
=a²-2ax+x²+2ay-2xy+2y²
=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴a²+x²=a²+x²-2（x-y）（a+y）
∴2（x-y）（a+y）=0，
∵a+y＞0，
∴x-y=0，x=y
在Rt△DAP與Rt△PGQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=PQ}\\{AP=QG}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△PGQ（HL），
∴∠ADP=∠GPQ；
∵∠ADP+∠APD=90°，
∴∠APD+∠GPQ=90°，
∴∠DPQ=180°-90°=90°，
故DP⊥PQ．

點評 考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其應用等問題，解題的關鍵是準確把握題意，通過作輔助線構造出一對全等三角形，對綜合運用能力提出了較高的要求．