Question

13．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)B，點(diǎn)C（1，0），則OB+CB的最小值為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 設(shè)D（-1，0），作D點(diǎn)關(guān)于直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的對(duì)稱點(diǎn)E，連接OE，交直線于A，連接AD，ED，作ES⊥x軸于S，根據(jù)題意OE就是OB+CB的最小值，由直線的解析式求得F的坐標(biāo)，進(jìn)而求得ED的長，從而求得OS和ES，然后根據(jù)勾股定理即可求得OE．

解答 解：設(shè)D（-1，0），作D點(diǎn)關(guān)于直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$的對(duì)稱點(diǎn)E，連接OE，交直線于A，連接AD，ED，作ES⊥x軸于S，
∵AB∥DC，且AB=OD=OC=1，
∴四邊形ABOD和四邊形ABCO是平行四邊形，
∴AD=OB，OA=BC，
∴AD+OA=OB+BC，
∵AE=AD，
∴AE+OA=OB+BC，
即OE=OB+BC，
∴OB+CB的最小值為OE，
由y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$可知∠AFO=30°，F(xiàn)（-4，0），
∴FD=3，∠FDG=60°，
∴DG=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{3}{2}$，
∴DE=2DG=3，
∴ES=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，DS=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$，
∴OS=$\frac{5}{2}$，
∴OE=$\sqrt{O{S}^{2}+E{S}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴OB+CB的最小值為$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題以及平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，證得OE是OB+CB的最小值是本題的關(guān)鍵．