Question

4．如圖，半圓O的直徑AB=20，將半圓O繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到半圓O′，與AB交于點(diǎn)P．
（1）求BP的長；
（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接AP，通過解直角△ABP求得BP的長度；
（2）S_陰影=S_半圓O-（S_扇形BOP-S_△BOP）．

解答 解：（1）如圖，連接AP，
∵AB是圓O的直徑，
∴∠APB=90°，
又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABP=30°，
∴BP=AB•cos30°=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$；

（2）如圖，連接OP．
∵AB=20，∠ABP=30°，
∴OB=10，∠BOP=150°，
∴S_陰影=S_半圓O-（S_扇形BOP-S_△BOP）
=$\frac{1}{2}$π×20²-（$\frac{150π×1{0}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×10×10×sin150°）
=200π-（$\frac{125π}{3}$-25）
=$\frac{475}{3}$π+25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形面積的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時(shí)，利用了銳角三角函數(shù)的概念，扇形的面積公式，三角形的面積公式，圓面積公式求解．