Question

如圖是圖①的正方體切去一塊，得到圖②～⑤的幾何體．
（1）它們各有多少個(gè)面？多少條棱？多少個(gè)頂點(diǎn)？
（2）舉例說明其他形狀的幾何體也切去一塊，所得到的幾何體的面數(shù)、棱數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)各是多少；
（3）若面數(shù)記為f，棱數(shù)記為e，頂點(diǎn)數(shù)記為v，則f+v-e應(yīng)滿足什么關(guān)系？

Answer 1

考點(diǎn)：截一個(gè)幾何體

專題：

分析：（1）根據(jù)正方體原有的面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱的條數(shù)，以及正方體截去一個(gè)角后，面、頂點(diǎn)、棱的變化情況，形數(shù)結(jié)合求解；
（2）利用不同舉例說明即可得出；
（3）利用以上所求得出f+v-e應(yīng)滿足的關(guān)系．

解答：解：（1）正方體原有6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，
如圖②把一個(gè)正方體截去一個(gè)角后得到的幾何體有7個(gè)面，有10個(gè)頂點(diǎn)，有15條棱．
如圖③把一個(gè)正方體截去一個(gè)角后得到的幾何體有7個(gè)面，有9個(gè)頂點(diǎn)，有14條棱．
如圖④把一個(gè)正方體截去一個(gè)角后得到的幾何體有7個(gè)面，有8個(gè)頂點(diǎn)，有13條棱．
如圖⑤把一個(gè)正方體截去一個(gè)角后得到的幾何體有7個(gè)面，有7個(gè)頂點(diǎn)，有12條棱．

（2）如圖頂點(diǎn)數(shù)a、棱數(shù)b、面數(shù)c填入下表：
，
；

（3）由（1）得：∵一個(gè)正方體截去一個(gè)角后得到的幾何體有7個(gè)面，有10個(gè)頂點(diǎn)，有15條棱．
把一個(gè)正方體截去一個(gè)角后得到的幾何體有7個(gè)面，有9個(gè)頂點(diǎn)，有14條棱．
把一個(gè)正方體截去一個(gè)角后得到的幾何體有7個(gè)面，有8個(gè)頂點(diǎn)，有13條棱．
把一個(gè)正方體截去一個(gè)角后得到的幾何體有7個(gè)面，有7個(gè)頂點(diǎn)，有12條棱．
即7+15-10=12，7+14-9=12，7+13-8=12，7+12-7=12，
∴面數(shù)記為f，棱數(shù)記為e，頂點(diǎn)數(shù)記為v，
∴則f+v-e=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方體的截面．關(guān)鍵是明確正方體的面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱的條數(shù)，形數(shù)結(jié)合，求出截去一個(gè)角后得到的幾何體的面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱的條數(shù)．