Question

20．如圖，點C、D在線段AB上，且△PCD是邊長為1的等邊三角形．
（1）當△PDB∽△ACP時，求∠APB的度數(shù)；
（2）當AC、DB滿足什么關系時，△ACP與△PDB相似．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的性質(zhì)對應角相等和等邊三角形的性質(zhì)可以求出∠APB的度數(shù)；
（2）利用△ACP∽△PDB的對應邊成比例和等邊三角形的性質(zhì)可以找到AC、CD、DB的關系．

解答 解：（1）當△ACP∽△PDB時，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB的度數(shù)為120°．

（2）當CD²=AC•DB時，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD²=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，
即$\frac{PC}{BD}$=$\frac{AC}{PD}$，
則根據(jù)相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練應用相似三角形的判定方法是解題關鍵，屬于中考�？碱}型．