Question

12．如圖，直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，△ABC是正三角形，點(diǎn)D是直線y=x-2$\sqrt{3}$上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，△DBC和△ABC面積相等，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（6，6-2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理求出CB的長(zhǎng)，故可得出tan∠BCO的值，可得出∠BCO的度數(shù)，即可求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)△DBC和△ABC面積相等得出AD∥BC，G根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AD的解析式，然后求得與直線y=x-2$\sqrt{3}$的交點(diǎn)即可．

解答 解：∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2與x軸、y軸分別交于C、B兩點(diǎn)，
令y=0，則-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2=0，解得x=2$\sqrt{3}$，
∴C（2$\sqrt{3}$，0），
令x=0，則y=2，
∴B（0，2）；
∴OC=2$\sqrt{3}$，OB=2，
在Rt△CBO中，CB=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=4
∴tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BCO=30°
又∵△ABC是等邊三角形
∴AC=BC=4，∠BCA=60°，
當(dāng)C點(diǎn)在x軸的上方時(shí)，∠OCA=90°
∴CA∥OB，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，4），
∵△DBC和△ABC面積相等，
∴AD∥BC，
設(shè)直線AD為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
代入A（2$\sqrt{3}$，4）得：4=-2+b，
∴b=6，
∴直線AD為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+6}\\{y=x-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=6-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴D（6，6-2$\sqrt{3}$），
故答案為：（6，6-2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、三角形的面積等知識(shí)，難度適中．