Question

120°、30°、30°的等腰三角形三邊的比值是多少？36°、72°、72°的等腰三角形的三邊的比值是多少？

Answer 1

考點：黃金分割

專題：計算題

分析：如圖1，∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，作AD⊥BC于D，設(shè)AD=a，易得△ABC為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，AB=AC，在Rt△ABD中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2a，BD=

3

a，BC=2BD=2

3

a，原式可計算出AB：AC：BC=1：1：

3

；
如圖2，∠ABC=∠ACB=72°，∠A=36°，作BD平分∠ABC，易得圖中三角形都是等腰三角形，設(shè)BC=x，AC=y，則AD=x，CD=y-x，易證得△BCD∽△ABC，
利用相似比可得x：y=（y-x）：x，整理得x²+yx-y²=0，解方程得到x=

-1+ 5

2

y，則可計算出BC：AB：AC=

5 -1

2

：1：1．

解答：解：如圖1，∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，
作AD⊥BC于D，設(shè)AD=a，
∵∠B=∠C=30°，
∴△ABC為等腰三角形，
∴BD=CD，AB=AC，
在Rt△ABD中，AB=2a，BD=

3

a，
∴BC=2BD=2

3

a，
∴AB：AC：BC=2a：2a：2

3

a=1：1：

3

；
如圖2，∠ABC=∠ACB=72°，∠A=36°，作BD平分∠ABC，
∵∠ABC=∠ACB=72°，
∴AB=AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
設(shè)BC=x，AC=y，則AD=x，CD=y-x，
易證得△BCD∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即x：y=（y-x）：x，
整理得x²+yx-y²=0，解得x₁=

-1+ 5

2

y，x₂=

-1- 5

2

y（舍去），
∴x=

-1+ 5

2

y，
∴BC：AB：AC=x：y：y=

5 -1

2

y：y：y=

5 -1

2

：1：1．
答：120°、30°、30°的等腰三角形三邊的比值為1：1：

3

；36°、72°、72°的等腰三角形的三邊的比值是

5 -1

2

：1：1．

點評：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．