Question

17．如圖，已知D為△ABC的BC邊上的一點，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求證：△AEF面積為△BDE面積和△CDF面積的比例中項．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建三角形的高線，根據(jù)平行線的距離相等得：DG=FH，EM=DN，證明△EBD∽△FDC，得BE•FC=DE•FD，分別表示△AEF、△BDE、△CDF的面積；利用平行四邊形的對邊相等得：AE=DF，AF=DE，則AE•AF=DF•DE，與三角形面積相結(jié)合得出結(jié)論．

解答 解：分別過D、F作AB的垂線DG、FH，垂足為G、H，分別過E、D作AC的垂線EM、DN，垂足為M、N，
∵DF∥AB，DE∥AC，
∴DG=FH，EM=DN，
∠EDB=∠FCB，∠FDC=∠EBC，
∴△EBD∽△FDC，
∴$\frac{BE}{FD}=\frac{DE}{FC}$，
∴BE•FC=DE•FD，
∵S_△AEF•S_AEF=$\frac{1}{2}$AE•FH•$\frac{1}{2}$AF•EM=$\frac{1}{4}$AE•AF•DG•DN，
S_△BED•S_△FDC=$\frac{1}{2}$BE•DG•$\frac{1}{2}$FC•DN=$\frac{1}{4}$DE•FD•DG•DN，
∵DF∥AB，DE∥AC，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴AE=DF，AF=DE，
∴AE•AF=DF•DE，
∴S_△AEF•S_AEF=S_△BED•S_△FDC，
即：△AEF面積為△BDE面積和△CDF面積的比例中項．

點評 本題考查了相似三角形、平行四邊形的性質(zhì)和判定，熟知比例中項的定義：如果a²=bc，則a就是b與c的比例中項；對于三角形相似的判定，常利用平行相似或兩角對應(yīng)相等來證明；本題在計算三角形面積時，要注意兩平行線的距離相等．