Question

20．如圖，一次函數(shù)y=kx-2的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，過A作AC⊥x軸于點C，己知cos∠AOC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OA=$\sqrt{5}$
（1）求反比例函數(shù)及直線AB的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）直接寫出反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值的自變量取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過解直角三角形求出線段AC、OC的長度，從而得出點A的坐標(biāo)，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點坐標(biāo)的特點，可得出反比例函數(shù)解析式；由點A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；
（2）根據(jù)直線AB的解析式找出直線AB與x軸的交點坐標(biāo)，再將一次函數(shù)解析式代入到反比例函數(shù)解析式中，解方程得出點B的坐標(biāo)，分解三角形AOB，利用三角形的面積公式以及A、B點的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；
（3）結(jié)合兩函數(shù)圖象，找出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時的x的取值范圍即可．

解答 解：（1）在Rt△OCA中，∠OCA=90°，cos∠AOC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，OA=$\sqrt{5}$，
∴sin∠AOC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠AOC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=OA•sin∠AOC=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=1，OC=OA•cos∠AOC=$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=2，
∴點A的坐標(biāo)為（-2，1）．
∴k=-2×1=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{2}{x}$．
將點A（-2，1）代入到y(tǒng)=kx-1中，
1=-2k-2，解得：k=-$\frac{3}{2}$．
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x-2．
（2）令一次函數(shù)y=-$\frac{3}{2}$x-2=0，
解得：x=-$\frac{4}{3}$．
將y=-$\frac{3}{2}$x-2代入到反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$中，
-$\frac{3}{2}$x-2=-$\frac{2}{x}$，即3x²+4x-4=0，
解得：x₁=-2，x₂=$\frac{2}{3}$．
當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時，y=-$\frac{2}{\frac{2}{3}}$=-3．
∴點B的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，-3）．
S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×[1-（-3）]=$\frac{8}{3}$．
（3）結(jié)合兩函數(shù)圖象可知：
當(dāng)-$\frac{2}{x}$＞-$\frac{3}{2}$x-2時，-2＜x＜0或x＞$\frac{2}{3}$．
故反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值的自變量取值范圍為-2＜x＜0或x＞$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、三角形的面積公式、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及利用函數(shù)圖象解決不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解直角三角形求出點A的坐標(biāo)；（2）通過解方程求出點B的坐標(biāo)；（3）利用函數(shù)圖象解決不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，通過解直角三角形求出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．